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算数の解法・技術論

食塩水の「てんびん図」って何だ!?なんで濃度がてんびんで解けるの??

今回は食塩水の濃度計算を、てんびん図を使って解く方法を解説します。

食塩水の問題で登場する図というと、ビーカー図(コップの形をした枠の中に、%、食塩水の重さ、食塩の重さの3つの情報を書き込むもの)と面積図の二つが有名です。

今回紹介するのは、てんびんのような図を使って食塩水の混合を計算する方法です。
サピックスなどの塾では、5年の後半か6年生の前半あたりに授業内で指導されていることが多いようです。

読者の皆様、聞いたことはありますでしょうか?
「耳にはしたことがあるけれど、どんなものなのかは分からない」
「食塩水がてんびんで解ける!? 知らんぞ!」
「子供が使っているけど、何をやっているのか分からない」

こんな保護者の方に向けて、てんびん図とはどのようなものなのか直感的に分かるように解説します。

そう、てんびん図は直感的に分かりやすいのです。
面積図よりも直感で分かりやすく使いやすいので、算田は個人的にはてんびん図の方が好きです。(生徒によっては面積図の方が好きな子も居ますので、その場合は面積図で指導しています)

ほとんどの塾で、最初は面積図で指導されます。そのまま入試まで面積図で行くのか、途中でてんびんに切り替えるのかは両方あり得るところです。
なぜ最初からてんびん図で指導しないのか? については記事の後半で解説します。

てんびん図の導入

まずは次のような問題を考えてみましょう。

問題

5%の食塩水と10%の食塩水を混ぜました。何%になりますか?

これは答えが出せません。ただ「5%から10%の間になる」という事は分かっていただけるでしょうか。
次に進みます。

問題

5%の食塩水をコップ一杯、10%の食塩水をプール一杯分混ぜました。何%になりますか?

どうでしょうか?25mプールにいっぱいの10%食塩水に、コップ一杯分の5%食塩水を混ぜて薄めます。さて、何%になるでしょうか?
突飛な状況設定ですが、考えてみましょう。
下の画像をご覧ください。

理論上プールに入れた食塩水がちょっと薄まるのは分かるけれども、ほとんど10%のまま変わらないですよね。
おそらく9.999999999……%くらいになると思います。

この状況をてんびんで表現します。
棒の両端に、それぞれ「コップ一杯」と「プール一杯」の重りをぶら下げたことを想像してください。
その時、てんびんを釣り合わせるための支点の位置は、ものすごーーーーーーく右になりますよね。
この位置が、混ぜた時の濃度である「9.99999999……%」の位置です。

つまり、てんびんに見立てた図を書き、それが釣り合うための支点の位置が、混ぜた時の濃度になるのです。
さて、次はプール一杯ではなく、具体的な数値で計算してみましょう。

実際の数字でてんびん図

てんびん図に登場する数値を、実際の問題に出てきそうな数にしてやってみましょう。

問題

5%の食塩水を200g、15%の食塩水を300g混ぜました。何%になりますか?

この問題をまずてんびんの図にしてみましょう。
下の画像をご覧ください。

まず直線を書き、その両端に「5%」と「15%」と書きます。
次に、その両端にそれぞれの重さと同じ重りをぶら下げます。5%の方には200g、15%の方には300gです。
そこから支点の位置を探していきます。

ここから先は理科で習うてんびんと同じ考え方です。
重さの比が2:3ですので、支点からの長さの比が3:2になります。

よって、11%の位置で釣り合いますので、答えは11%になります。
(生徒に指導する際はもっと丁寧に解説しますが、今回は保護者向けという事で、飛ばし気味に書いています!)

てんびん図の利用範囲・面積図との違い

てんびん図とはどのようなものなのかお分かりいただけたでしょうか?
ここからは、てんびん図はどのように使うのか、面積図とは何が違うのか?を解説していきます。

結論から書くと、てんびん図と面積図は使用できる場面は全く同じです。
面積図で解ける問題はてんびん図でも解けるし、てんびん図で解ける問題は面積図でも解けます。
どちらかでしか解けない問題はないので、どちらを使っても大丈夫です。好みの問題です。好きな方を使えばOKです。

もう少し詳しく説明すると
食塩水の重さ×濃度=食塩の重さ
という式を
たて×よこ=面積 の関係に当てはめるのか、それとも
おもりの重さ×支点からの距離=回転力の大きさ というてんびんの関係に当てはめるのかの違いです。本質的には全く同じです。

まとめると
①てんびんの図を習得しないと解けない問題があるわけではない。面積図だけでも解けるので心配はいらない。
②お子様がてんびん図を使っていた場合、本質をきちんと理解できているのなら全く問題ない。面積よりも直感に近い図なので、教わってみると気に入る生徒も多い。

です。
算田の方針としては、上位校を目指す生徒には必ず一度はてんびん図を指導して使ってみて、気に入るようだったら続ける。違和感があるようだったら面積図のままにする。としています。

もしもてんびん図とは何なのか気になっている保護者の方がいらっしゃいましたら「こういうものなんだよ!」という事で参考にしていただければと思います。

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