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算数の解法・技術論

N進法って何?【保護者向け解説】

今日はN進法について解説していきます。
SAPIXや早稲アカの新6年生はこのあたりの時期でN進法の授業が入ります。
大人でも理解しづらい単元である「N進法」を保護者の方向けに解説してみます。
今回は「N進法とは何か?」という視点で記事を書きます。

問題の解き方については以前書いたこちらの記事を参考にしてください。

参考N進法は何が難しいのか?&簡単な解き方

最近はテスト分析コンサルのレポート作成や指導依頼の方との連絡が立て込んでいて、解説記事を書く時間が取れなくなっていました。久しぶりに解説記事を投稿します。 N進法という単元があります。2進法や3進法な ...

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私たちが普段使っているのは「10進法」

N進法のことを理解する前に、私たちが普段使っている数の数え方である「10進法」から考えていきましょう。
突然ですが、私たちが普段使っている数字(アラビア数字)は何種類あるでしょうか?

答えは10種類です。
数(かず)は無限にありますが、数を表すための文字(数字)は10種類しかありません。
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類です。 ※アラビア数字の場合
この10種類の文字を使って数を表記する方法が現在地球上では最も普及しています。

下の画像をご覧ください。

例えば、324(さんびゃくにじゅうよん)という数があります。この「324」の「3」は100の位の数字ですので、100が3個という意味ですよね。(何を当たり前な!と思われるかもしれませんが、もう少しお付き合いください。)
同様に、「2」は10が2個という意味ですし、「4」は1が4個という意味ですね。

さて、私たちは当たり前のように「10の位」,「100の位」として認識していますが、これは数字が0~9までしかないことが原因です。
0から順番に数を表記していったときに、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9と9まで書くと、次の数を表す文字がありません。(「じゅう」を1文字で表す文字は通常使用しませんね)

そこで登場するのが「位を上げる」という書き方です。9の次の数を書く際に「10」(イチ・ゼロ)と書くことにしたのです。
これが10進法です。

余談ですが、地球上の多くの文化圏で10進法が採用されている理由が、人間の指が10本だったからではないかという説がありまっす。
原始時代、指を折って数を数えて、10まで数えたら、きっと地面に棒か何かで線を引いて10を記録して、また11から先の数を数えたのではないかと想像します。
古代メソポタミアでは12進法が採用されていたりと、10進法以外を使っていた文化圏もありましたが、それはまた別のお話……。
現代に生きる私たちは当然のように使っていますが、「位取り数記法」は、車輪の発明と並んで人類史上の大発明だと思うのですが、それもまた別のお話……。

さて話を戻しますが、0~9の10種類の数字を使って数を表記するので、位取り(くらいどり)は「1の位」「10の位」「100の位」というようになっています。

3進法で考えてみよう

次に3進法という数の数え方を考えてみましょう。
3進法では、0,1,2の3種類の数だけを使って表記します。

10進法と3進法の対応表を書いてみます。
0,1,2まではどちらも同じですが、10進法の「3」を書く際に困ってしまいます。「3」という数字は3進法には存在しないからです。
仕方がないので、位(くらい)を上げて書くしかありません。「10」(イチ・ゼロと読みましょう)と書いて「3」を表します。
つまり、3進法における二つ目の位は「3の位」です。

例えば、3進法における「21」(ニ・イチ)は、3の位の数字2、1の位の数字が2という意味になります。
ですから、3が2個、1が1個の数字を表します。つまり10進法における7を意味しています。

この調子で次々と数字を書き込むと上の表のようになります。
さて、8までは同じ調子で書くことができました。
8は、3が2個と1が2個ですので「22」(ニ・ニ)と書き表せます。

しかし次の9を書く段階でまた困ってしまいます。
3が3個だから「30」? いやいや、「3」という数字は使えません。

9は3進法では二桁では書き表せません。ではどうするか?位を上げるしかありません!
三つ目の位に登場してもらいましょう。「100」(イチゼロゼロ)です。

つまり3進法における三つ目の位は「9の位」です

9から先の数字もいくつか書いてみました。
続きはご自身で書いてみてください!

以上です。
授業でN進法の導入をするならば、こんな感じの説明になります。
実際に生徒に説明する際に細部は変わるかもしれませんが、大筋はこんな感じで導入します。

単にN進法の問題を解くだけであれば、もっと簡単な「解き方」を教えれば解けます。
その解き方は、N進法の成り立ちや原理を説明した後でしっかり練習します。

算田が指導する際のN進法の「解き方」を一部紹介した記事はこちらです。

目の前の問題を解くだけであれば、解き方を教えればそれで十分なのですが、それでは深い学びになりません。
今の時代難関校で出題される問題は、表面的な解き方だけを暗記してきた子供を排除するような問題の作りになっていることが多いです。
根本の原理を理解していれば解けるが、ただ解法暗記をしてきた子には解きづらいような、良質な問題が難関校では出題されます。

「N進法」という、受験算数全単元の中でも屈指のオモシロ単元を、ただ解法暗記だけで終わらせてしまうのはあまりにもったいないです!
位取り数記法という、人類の英知に触れるチャンスなのですから、数の不思議や世界の広さを知るきっかけにしたい……

難関校の入試を突破できる力をつけるためにも、暗記ではなく本質からの理解を!
というのが算田の願いです!

記事はここまでです。

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