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算数の解法・技術論

「~で割ると〇余る」系の問題。気合根性&計算で解く!     

約数と倍数の単元にで頻出の「~で割ると〇余り、~で割ると〇余る」系の問題を3パターンに分けて解き方を解説します。
例えばこんな問題です。

「4で割ると2あまり、6で割ると3余る整数を小さい方から3つ書きなさい」

この手の問題には大きく分けて3パターンあります。余り共通、足りない共通、何も共通ではない、です。
3つめのパターンが最も難しくなっており、その解き方の指針は

気合と根性&計算 です。
気合と根性です! 具体的には書き出しです!

とはいえ、全てを書き出すわけではありません。ある程度までは気合で書き出しますが、その後は計算で求めます。

今回の記事は前半と後半に分かれています。
前半では、こうした問題の解き方を解説するとともに、どの方法を使ったらよいかの見分け方も解説していきます。
後半では、この手の問題に限らず、算数を学習する際に大切なポイントをお話します。

算数が得意ではない読者の方は、前半はサーっと読み飛ばして、後半から読んでいただいても楽しく読めると思います。

第一部:解き方

パターン0

4で割っても6で割っても割り切れる整数を小さい方から3つ書きなさい

まずは最も簡単な基本形です。余りが出ないで割り切れるパターンです。
これは単に公倍数を求めればよいので、答えは12,24,36となります。
ここが出発点です。

パターン1 余り共通型

4で割っても6で割っても2余る整数を小さい方から4つ書きなさい

これが二つ目のパターンです。
余りが共通しているパターンです。

さて、こんな都合の良い数をどうやって探そうかと悩みますね。
まず最初に思いつく解決方法は書き出しです。とにかく書き出します。

4で割ると2余る数:2,6,10,14,18,22,26,30,34,38……
6で割ると2余る数:2,8,14,20,26,32,38……

とこのように書き出せば、答えは2,14,26,38であることが分かります。
さて、これをどのように計算で考えましょうか。

ポイントは「4で割っても2余るし、6で割っても2余る」という言葉から「12の倍数に2を足せば良いのでは?」と読み替える事です。

言い換えると、4と6の公倍数に2を足せばよいのです。
例えば12は4で割っても6で割っても割り切れます。この数に2を足せば、4と6のどちらで割っても2余る状況になります。

とすれば、求めるものは「4と6の公倍数である12の倍数に2を足した数」です。
0+2=2
12+2=14
24+2=26
36+2=38

のように計算で求めることが出来ました。
これがパターン1です。

パターン2 足りない共通型

4で割ると3あまり、6で割ると5余る整数を小さい方から3つ書きなさい

これがパターン2です。
余りが同じではなくなりました。

はむ次郎
困った!さっきのパターン「12の倍数に〇足す」が使えないではないか!!!
いえいえ、ちょっと待ちましょう。 よく見ると、意外な特徴が……

「4で割ると3余る」は、言い換えると「4で割ると1足りない」とも言えますよね。
3余るという事は、あと1あれば割り切れたという事です。

「6で割ると5余る」も「6で割ると1足りない」と言い換えられます。

そうです!この問題は余りは共通ではありませんでしたが、「足りない共通」という特徴があったのです!

ここからはパターン1と同じ考え方で行けます。
4と6の公倍数である、12の倍数から1引けば、4と6のどちらで割っても1足りない数にすることが出来ます。
つまり

12-1=11
24-1=23
36-1=35

ということで答えは11,23,35です。

念のため書き出しで実験して、答えが正しいことを確認しておきます。
4で割ると3余る数:3,7,11,15,19,23,27,31,35……
6で割ると5余る数:5,11,17,23,29,35……

パターン3 どちらも共通ではない型

4で割ると1あまり、6で割ると5余る整数を小さい方から3つ書きなさい

さぁこれが最終パターンです。
ここまでは「余り共通」や「足りない共通」のように共通のものがありましたが、今回はどうでしょうか。

まず余りは異なっていますね。
では足りないは……

はむ次郎
頼む!共通であってくれ!

祈りながら確認しますが、残念ながら同じではありません。
このパターンは余りも共通も同じではない、てんでバラバラの場合です。

この場合は覚悟を決めるしかありません。
そうです。気合と根性で書き出すしかないのです。

はむ次郎
書き出しやだー!面倒!

といっても全て書き出しではありません。具体的には
1個目を見つけるまでは気合(書き出し)で、2個目以降は計算(最小公倍数)で

という流れです。
では解いていきましょう。

まず最初の1個を見つけるまでは気合で書き出しです。
ここは上品な計算方法などありません。同じ数字が出てくるまでただ無心で書き続けます! ファイト!

4で割ると1余る数:1,5,9,13,17……
6で割ると5余る数:5,11,17……

あった!!見つけました。最初の1個は17です。
この1個さえ見つけてしまえば、もう気合パートは終了です。 ここからはスマートに計算で求めていきます。
(もちろんこのまま気合で書き続けても答えは求められますよ)

さて、1個目は17でしたが2個目は何だろうか? と考えます。
上の段には、17から4の倍数だけ増えた数が書かれ、下の段には6の倍数だけ増えた数が書かれ続けます。
という事は、4と6の最小公倍数である12足した数が次に共通するのでは!? という事で、17+12=29が二つ目です。
(この辺りは実際の授業の際はもう少し丁寧にやりますが、今回はこの辺で割愛)

一応書き出しで実験します。

4で割ると1余る数:1,5,9,13,17,21,25,29……
6で割ると5余る数:5,11,17,23,29……

さぁここまでくれば規則が分かってきます。12ずつ増えていきます。
よって3個目は29+12=41です。よって答えは 17,29,41です。

第二部:勉強方法

第二部では「~で割ると〇余る」型の問題を題材に、算数学習で大切なポイントをいくつか紹介します。

ある程度のパターン認識は必要

算田がこの手の問題を指導する際には「3つのパターンがある。余り共通型、足りない共通型、何も共通ではない型」のように分類して指導しています。
これはパターン暗記と言われるような方法に近いです。

正直なところあまりいい印象がない言葉ですよね。パターン暗記。
それでもある程度まではパターンの認識が必要だと思うのです。

例えるなら「ネジがあったらドライバー。釘があったらトンカチ」くらいのパターン暗記は必要だと思うのです。
「ネジ穴の形を見れば、暗記せずともドライバーを使うことは考えればわかるはずだ!」というのは理屈としては正しいのですが、現実的ではありませんよね。

算数においてもある程度のパターン化は必要です。
しかし多くの小学生が戸惑っているのは「銀色でとがった部品があるときに、ドライバーを使うときとトンカチを使うときがある。何が違うの?」というような疑問です。
解法の使い分けの基準が曖昧になっているのです。

多くの集団塾の解説では「ここではドライバーを使いますよ! で、こっちはトンカチ!」というような場当たり的な解説しかなされないので「なんか素材が金属の時はドライバーで、木材の時はトンカチなのかな?」のような間違ったパターン化をしてしまう子が発生します。
そして、テストで木材をネジで留めるような初見の問題が出た際に、木材だからとトンカチを使って失敗します。

正しいパターン化や見分け方を指導することが重要です。
ネジと釘の正しい見分け方を指導して、それに合わせた工具を使えるように練習します。

とはいえ解法暗記では太刀打ちできない

パターン認識が必要だと説明しましたが、かといって解法の完全暗記では太刀打ちできません。
例えるなら「品番c-360にはドライバーを使う。c-361もドライバー。でもd-190はトンカチ」のような覚え方を目指すことは無理があります。

どこまでの解像度で問題群を分割・分類するのかによって学習効率は大きく異なります。
算田が意識的に行っている指導は「銀色でとがった部品があった時の見分け方。下にらせんのミゾがあったらネジ。上に+か-の溝があったらネジ。どちらもなければ釘の可能性が高い。」のような見分け方の指導が一つ。

もうひとつは「ネジだったら大体左に回すと締まる。たまに違うときもあるから、もしダメだったら右に回してみる」のような初期動作の方針をザックリ伝えることです。

家庭学習の際に

算数の得意なお父様・お母様が指導される際に「この問題はこうやると解けるよ」までは指導できる場合が多いのですが「どうやってその解法を使うと見分けるのか」までの説明はなかなか難しいと思います。

ご自身がその問題を解く際に「お、この問題はこうやって解けば解けるな!」と判断したきっかけや根拠を言語化してお子様に伝えてみると、一段質の変わった指導が出来ると思います。
もしよかったら真似してみてください!

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