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場合の数 算数の解法・技術論

一見同じでも解法が全然違う!場合の数・5色から4色選んで全て使って塗り分けなさい

今日は久しぶりに解説記事を書いていきます。
場合の数の色塗りの問題です。

今回の記事は以下に当てはまる方に読んでいただきたいと思います。
①お子様に算数を教えている保護者の方
②5年生までは得意だったはずの単元で解けないことが増え、なぜだろうと疑問に思っている

①はもちろん、お子様に問題を教える際の参考にしていただきたいと思います。
さて②の方にも是非読んでいただきたいのです。算数のことはあまり分からなくても大丈夫です。
一見すると同じ単元の問題でも、実は全く異なる解き方をする場合があるということがイメージできるように解説します。
細かい所は読み飛ばしても構わないので「問題文の少しの違いで解き方が全く変わる」という所でお子様が苦労してることをイメージしてみてください。

問題

赤青黄緑紫の5色の絵の具があります。図の塗り絵を隣り合う図形が同じ色にならないように塗分けます。
(1)使わない色があってもよいとすると、塗分け方は何通りでしょうか
(2)5色から4色を選び、4色全て使って塗る塗分け方は何通りでしょうか。

(1)は5年生までに習った基本問題であり、(2)が6年生が苦手としやすい問題です。

まずは(1)を簡単に説明します。
Aの位置は5色のどれを塗っても良いので5通り。
Bの位置は、Aに塗った色と同じ色は使えないので4通り。
Cの位置は、AとBに塗った色と同じ色は使えないので3通り。
同様に、DとEも3通りです。
よって5×4×3×3×3=540通りです。
下のように図に数字を書き込んで解く方法が一般的です。

ここでは「どうやら(1)は単純な考え方で解けるのだな」ということをイメージしていただければ大丈夫です

さて(2)に進みます。

この問題は「5色から4色選んで全て使って塗分けなさい」
という問題です。この問題は4つのステップに分けることで簡単に考えることが出来ます。

①5色からどの4色を選ぼうか?
②どことどこを同じ色にしようか?
③2回使う色はどれにしようか?
④残った場所を塗る

一つずつ説明していきます。
まず①の「5色からどの4色を選ぼうか?」です。
5色ある絵の具から使用する4色を選ぶのは何通りかを考えます。
使わない1色を何にするのかと同じことですので、答えは5通りです。

②の「どことどこを同じ色にしようか?」を考えます。 ここが最大のポイントです!
5か所の塗り絵を4色で塗分けるので、どこか2か所は同じ色で塗られることになります。
同じ色で塗られる2か所の組み合わせは、どことどこの場合があり得るか? 何通りあるかを数えます。
隣り合う場所は同じ色にできないことに気を付けて数えていくと、下の図の3パターンあることが分かります。

なので②の「どことどこを同じ色にしようか?」は3通りあります。

③の「2回使う色はどれにしようか?」です。②で選んだ2か所を同じ色で塗るときに、その色はどれにしようかを考えます。
①で選んだ4色のどれでも良いので、4通りです。

最後に④で「残った場所を塗る」です。残った3か所を3色全て使って塗分けますので、3×2×1=6通りです

さて、準備が整いましたので答えを求めましょう。①~④で求めた数を掛け算します。

5×3×4×(3×2×1)=360通り となります。

今回の記事でお伝えしたかったことは二つです。
①複雑な問題でも具体的な手順に分解すれば理解して解けるようになる
②お子様が以前は得意だったはずの単元で苦戦している時、一見同じ問題でも実は全く違う解き方が必要となっているのかもしれない

です。
複雑な問題は手順に分割して覚えることが大切です。
一般的な解説では特に手順を意識することなく、①~④が単調に説明されます。
それではどこに注目して覚えたらよいのか分からないので、算田はどの単元でも出来るだけ具体的な手順に分割して伝えています。
手順に分解して学習することが出来れば、センスに関わらず問題を解けるようになります。

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